齐次方程组是齐次线性方程组,齐次线性方程组指的是常数项全部为零的线性方程组。如果m小于n(行数小于列数,即未知数的数量大于所给方程组数),则齐次线性方程组有非零解,否则为全零解。
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后,不全为零的行数r(即矩阵的秩)小于等于m(矩阵的行数),若m小于n,则一定n大于r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元,这个n-r个自由变元可取任意取值,从而原方程组有非零解(无穷多个解)。
相关性质:
1、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
2、齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。
3、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n,方程组有唯一零解;齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)小于n,方程组有无数多解。
4、n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地,方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。
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